當定義好機率空間和機率公設後，會發現機率概念需要「集合」協助定義與解釋，所以這節將說明集合論的觀點與概念。集合論的觀念有事件交集、事件聯集和事件補集。這篇文章將說明聯集。
聯集(Union)
概念：當我們有兩個集合，集合中至少有一個會發生元素蒐集所產生的集合。
機率空間解釋：給定 $(\Omega, F, P)$ ，令 $A, B$ 為兩不同事件， $A, B \in F$ 。A與B兩事件的聯集以 $A \bigcup B$ 表示。
范氏圖解釋：
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| 圖片來源: Wiki百科 |
兩事件的聯集特性
- 範圍： $max(P(A), P(B)) \leq P(A \bigcup B) \leq min(1, P(A) + P(B))$
因為A聯集B，所以A的機率和B的機率選最大者，將小於等於A和B聯集的機率。這點由范氏圖可以清楚看到。另外，A和B聯集的機率小於等於A機率加上B機率，但如果A機率+B機率超過1，那麼根據機率公設，A和B聯集的機率將只能是1。
- 數學解釋：根據范氏圖的概念，用機率表現A和B聯集的機率為 $P(A \bigcup B) = P(A) + P(B) - P(A \bigcap B) \leq P(A) + P(B)$ 。
- 統計學解釋： $P(A \bigcup B) = P(A \bigcap B) + P(A \bigcap B^{c}) + P(A^{c} \bigcap B) = 1 - P(A^{c} \bigcap B^{c})$ 。
此處 $A^{c}$ 和 $B^{c}$ 各自為A的補集事件和B的補集事件。
所謂事件與補集事件可以用空間角度來看。由於有A與B兩事件，產生兩度空間，以 $2 \times 2$ 表顯示。
三個事件的聯集特性
- 數學解釋：
- $P(A \bigcup B \bigcup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \bigcap B) - P(A \bigcap C) - P(B \bigcap C) + P(A \bigcap B \bigcap C) $
- $P(A \bigcup B \bigcup C) \leq P(A) + P(B) + P(C)$
【證明】
已知 $P(E \bigcup K) = P(E) + P(K) - P(E \bigcap K)$
令 $B \bigcup C = K$ ，所以，可得到
$P(A \bigcup B \bigcup C) = P(A \bigcup K) = P(A) + P(K) - P(A \bigcap K)$ ----(1)
$P(K) = P(B \bigcup C) = P(B) + P(C) - P(B \bigcap C)$
$\begin{alignedat}{3} P(A \bigcap K) &= P(A \bigcap (B \bigcup C)) \\ &= P((A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)) \\ &= P(A \bigcap B) + P(A \bigcap C) - P(A \bigcap B \bigcap C) \\ &= P(A \bigcap B) + P(A \bigcap C) - P(A \bigcap B \bigcap C) \end{alignedat}$
其中，第二個等式是分配律。所以，根據式(1)，可以得到
$P(A) + P(B) + P(C) - P(A \bigcap B) - P(A \bigcap C) - P(B \bigcap C) + P(A \bigcap B \bigcap C)$ 。
- 統計解釋：
$\begin{alignedat}{2} P(A \bigcup B \bigcup C) &= P(A \bigcap B \bigcap C) + P(A \bigcap B \bigcap C^{c}) + P(A^{c} \bigcap B^{c} \bigcap C) + P(A \bigcap B^{c} \bigcap C^{c}) \\ &+ P(A^{c} \bigcap B \bigcap C) + P(A^{c} \bigcap B \bigcap C^{c}) + P(CA^{c} \bigcap B^{c} \bigcap C) \\ &= 1 - P(A^{c} \bigcap B^{c} \bigcap C^{c}) \end{alignedat}$
其中， $A^{c}$ 是A的補集事件， $B^{c}$ 是B的補集事件， $C^{c}$ 是C的補集事件。三個事件不容易使用空間角度說明。所以採用樹枝圖圖解說明。
