1. 機率公設
已知(Ω,F,P)為機率空間，令A為任一事件，並且屬於F，因此：- $0 \leq P(A) \leq 1$
- $P(\Omega) = 1$
- 令$A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k}$為互斥事件，得到$A_{i} \bigcap A_{j}= \varnothing, i \neq j$ 且 $P(A_{1} \bigcup A_{2} \bigcup \cdots \bigcup A_{k}) = P(\bigcup _{i=1}^{k} A_{i}) = P(A_{1}) + P(A_{2}) + \cdots + P(A_{k}) = \sum_{i=1}^{k} P(A_{i}), k \longrightarrow \infty$
2. 解釋機率空間
我們可以用公設來解釋機率空間，解釋過程會使用到集合論。如果想先看集合論，可以先看下一節。
(1) 任何機率值都介於0到1之間
給定任一事件為A，因為 $\varnothing \subseteq A \subseteq \Omega$ ，所以我們計算個數得到， $n(\varnothing) \leq n(A) \leq n(\Omega)$ 。
讓我們改為機率公式，即 $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$，所以將不等式都除以 $n(\Omega)$，得到：
$$\frac{n(\varnothing)}{n(\Omega)} \leq \frac{n(A)}{n(\Omega)} \leq \frac{n(\Omega)}{n(\Omega)}$$
整理後，即
$$0 \leq P(A) \leq 1$$
(2) 宇集合的機率是1
宇集合是我們有興趣事務的特性集合，確認我們有興趣的事務後，就需要得到全體數據。因為客觀機率的計算方式是：
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$$
所以，將 $A$ 換成 $\Omega$ ，我們就能計算宇集合的機率為：
$$P(\Omega) = \frac{n(\Omega)}{n(\Omega)} = 1$$
(3) 互斥聯集相加等於個別相加
當我們產生了k個互斥的事件後，互斥事件的聯集機率等於個別事件機率相加。因為各自事件本身之間是空集合，也就是個數為0，我們就能將k個互斥事件聯集當做是一個新的事件 - B。能夠如此的原因是宇集合下的子集合聯集仍可視為一個事件看待，也就是事件B屬於F。於是，
$$P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{n(A_{1} \bigcup A_{2} \bigcup \cdots \bigcup A_{k})}{n(\Omega)} = \frac{n(A_{1})}{n(\Omega)}+ \cdots + \frac{n(A_{k})}{n(\Omega)}$$
所以，
$$P(A_{1} \bigcup A_{2} \bigcup \cdots \bigcup A_{k}) = P(A_{1}) + \cdots + P(A_{k})$$
3. 特例
1. 空集合的機率為0
當A為一個事件時，若P(A) = 0，代表事件A為空集合。因為當機率為0就是「一定不發生」，與機率可能發生的情況產生矛盾，所以要注意這種情況。
2. 宇集合的機率為1
當宇集合機率為1時，令A為一個事件且P(A) = 1，代表A就是宇集合。當機率為1時，代表一定發生，與機率可能發生的情況產生矛盾，所以要注意這種情況。
3. 兩事件機率相等
當 $P(A_{1}) = P(A_{2})$ 時，並不代表 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 是同一事件，而是指兩事件有相同的個數，即： $n(A_{1}) = n(A_{2})$ 。